Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點M，若H是AC的中點，連接MH．

（1）求證：MH為⊙O的切線．
（2）若MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O的半徑．
（3）在（2）的條件下分別過點A、B作⊙O的切線，兩切線交于點D，AD與⊙O相切于N點，過N點作NQ⊥BC，垂足為E，且交⊙O于Q點，求線段NQ的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

連接OH、OM，

∵H是AC的中點，O是BC的中點，

∴OH是△ABC的中位線，

∴OH∥AB，

∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，

又∵OB=OM，

∴∠OMB=∠MBO，

∴∠COH=∠MOH，

在△COH與△MOH中，

，

∴△COH≌△MOH（SAS），

∴∠HCO=∠HMO=90°，

∴MH是⊙O的切線

（2）

解：∵MH、AC是⊙O的切線，

∴HC=MH= ，

∴AC=2HC=3，

∵tan∠ABC= ，

∴ = ，

∴BC=4，

∴⊙O的半徑為2

（3）

解：

連接OA、CN、ON，OA與CN相交于點I，

∵AC與AN都是⊙O的切線，

∴AC=AN，AO平分∠CAD，

∴AO⊥CN，

∵AC=3，OC=2，

∴由勾股定理可求得：AO= ，

∵ ACOC= AOCI，

∴CI= ，

∴由垂徑定理可求得：CN= ，

設OE=x，

由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，

∴ ﹣（2+x）2=4﹣x2，

∴x= ，

∴CE= ，

由勾股定理可求得：EN= ，

∴由垂徑定理可知：NQ=2EN=

【解析】（1）連接OH、OM，易證OH是△ABC的中位線，利用中位線的性質可證明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，從而可知MH是⊙O的切線；（2）由切線長定理可知：MH=HC，再由點M是AC的中點可知AC=3，由tan∠ABC= ，所以BC=4，從而可知⊙O的半徑為2；（3）連接CN，AO，CN與AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切線可知AO⊥CN，利用等面積可求出可求得CI的長度，設CE為x，然后利用勾股定理可求得CE的長度，利用垂徑定理即可求得NQ．本題考查圓的綜合問題，涉及垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質，切線的判等知識內容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來．