Question

【題目】（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連結BE、CD，猜想BE與CD有什么數量關系？并說明理由；

（2）請模仿正方形情景下構造全等三角形的思路，利用構造全等三角形完成下題：如圖2，要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離，已經測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】(1)、CD=BE，證明過程見解析；(2)、100.

【解析】

試題分析：(1)、由正方形的性質就可以得出△ADC≌△ABE，就可以得出CD=BE；

(2)、在AB的外側作AD⊥AB，使AD=AB，連結CD，BD，就可以得出△ADC≌△ABE，就有CD=BE，在Rt△CDB中由勾股定理就可以求出CD的值，進而得出結論．

試題解析：(1)、CD=BE． 理由：如圖①∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，

∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE．

在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴CD=BE；

(2)、如圖②，在AB的外側作AD⊥AB，使AD=AB，連結CD，BD， ∴∠DAB=90°，

∴∠ABD=∠ADB=45°． ∵∠ABC=45°， ∴∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°， 即∠DBC=90°．

∴∠CAE=90°， ∴∠DAB=∠CAE， ∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC， 即∠DAC=∠BAE．

在△ADC和△ABE中 ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴CD=BE．

∵AB=100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得 BD=100． ∴CD==100，

∴BE=CD=100，