Question

如圖，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經

過點A、C、B的拋物線的一部分C₁與經過點A、D、B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封

閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C₂：（＜0）的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當△BDM為直角三角形時，求的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）令y=0，則 ， 

∵m＜0，∴，解得：， 。

∴A（，0）、B（3，0）。

（2）存在。理由如下：

 ∵設拋物線C₁的表達式為（），

把C（0，）代入可得，。    

                 ∴Ｃ₁的表達式為：，即。    

   設P（p，），

∴ S_△PBC = S_△POC + S_△BOP –S_△BOC =。

∵<0，∴當時,S_△PBC最大值為。

（3）由C₂可知： B（3，0），D（0，），M（1，），

∴BD²=，BM²=，DM²=。

∵∠MBD<90°, ∴討論∠BMD=90°和∠BDM=90°兩種情況：

當∠BMD=90°時，BM²+ DM²= BD² ，即＋=，

解得：,  (舍去)。 

當∠BDM=90°時，BD²+ DM²= BM² ，即＋=，

解得：， (舍去) 。  

綜上所述， 或時，△BDM為直角三角形。

【解析】（1）在中令y=0，即可得到A、B兩點的坐標。

（2）先用待定系數法得到拋物線C₁的解析式，由S_△PBC = S_△POC + S_△BOP –S_△BOC得到△PBC面積的表達式，根據二次函數最值原理求出最大值。

（3）先表示出DM²，BD²，MB²，再分兩種情況：①∠BMD=90°時；②∠BDM=90°時，討論即可求得m的值。