Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)C1：（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)AB=4時(shí)，

①求二次函數(shù)C1的表達(dá)式；

②在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)D，使△DAC的周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)將(2)中拋物線C1向上平移n個(gè)單位，得到拋物線C2，若當(dāng)0≤x≤時(shí)，拋物線C2與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求出n的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)A(-1，0)；C(0，-3)；(2)①；② D(1，-2)；（3）≤n＜3或n=4.

【解析】

（1）解方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；在函數(shù)中，由x=0可得y=-3，由此可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）①由（1）中所得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)結(jié)合AB=4可得m的值，由此即可得到函數(shù)的解析式；②由題意可知，AC是定值，而A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，由此可知當(dāng)點(diǎn)D為直線BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最小，故由已知條件求得直線BC的解析式，再求出BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（3）①由題意設(shè)平移后的拋物線C2的解析式為：，當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)（，0）和（0，0）時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-0.5，0）和（1，0），由點(diǎn)（-0.5，0）不在的范圍內(nèi)，點(diǎn)（1，0）在可求得n的一個(gè)符合題意的取值范圍； ②當(dāng)平移后的拋物線的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，新拋物線與x軸也只有一個(gè)交點(diǎn)（1，0）在的范圍內(nèi)，由此也可得到一個(gè)符合條件的n的值；綜合①②即可得到n的取值范圍.

(1)在二次函數(shù)中，當(dāng)y=0時(shí)，可得方程：

，

解得：，

∵拋物線與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且m>0，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），

∵在中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）；

(2)①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），且m>0，

∴AB=+1，

又∵AB=4，

∴+1=4，解得m=1，

∴拋物線的解析式為：；

②如圖1，由m=1，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

∵AC的長(zhǎng)為定值，A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng)，

∴當(dāng)點(diǎn)D為直線BC與對(duì)稱(chēng)軸x=1的交點(diǎn)時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)△ACD的周長(zhǎng)最小，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），

∴直線BC的表達(dá)式為 y=x-3.

把x=1代入y=x-3得y=-2，

∴D(1，-2)；

(3)設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為

①當(dāng)拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，0）時(shí)，解得：n =，此時(shí)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-0.5，0），該點(diǎn)不在范圍內(nèi)；

當(dāng)拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）時(shí)，解得得n=3，此時(shí)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），該點(diǎn)在的范圍內(nèi)，

∴綜上可得：≤n＜3 ；

②當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，拋物線C2與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)有x=1，y=0，解得n=4；

綜合①②可得，n的取值范圍是≤n＜3或n=4.