Question

（12分）數(shù)學(xué)課上林老師出示了問(wèn)題：如圖，AD∥BC，∠AEF=90°AD=AB=BC=DC，∠B=90°，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．

同學(xué)們作了一步又一步的研究：

（1）經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種解題思路：如圖1，取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）小穎提出一個(gè)新的想法：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：

試題解析：（1）正確．

∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn) AB=BC

∴AM=EC BM=BE ∴∠BME=45° ∠AME=135°

∵CF是∠DCG的平分線 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（2）正確．

證明：在AB上取一點(diǎn)M，使AM=BC，連接ME．

∴BM=BE ∴∠BME=45°∴∠AME=135°，

∵CF是∠DCG的平分線 ∴∠DCF=45° ∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90° ∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF

∴△AME≌△BCF（ASA） ∴AE=EF

（3）正確．

證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N．使AN=CE，連接NE．

∴BN=BE ∠N=∠PCE=45°

∵AD∥BE ∴∠DAE=∠BAE ∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA） ∴AE=EF

考點(diǎn)：三角形全等的證明與性質(zhì)．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
組成三角形的線段叫做三角形的邊．
相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．
相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角．
（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．
（4）三角形具有穩(wěn)定性． 試題屬性

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