Question

如圖，已知BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE．
（1）求證：∠BAD+∠BCD=180°；
（2）若將條件“AB+BC=2BE”與結論“∠BAD+∠BCD=180°”互換，結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先過D作DF⊥BA，垂足為F，再根據條件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE，再證明Rt△BFD≌Rt△BED，可得FB=BE，即AB+AF=BE，進而得到AF=EC，然后再證明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD，再根據∠BAD+∠FAD=180°，可得∠BAD+∠BCD=180°；
（2）過D作DF⊥BA，垂足為F，首先證明∠DCE=∠FAD，再證明△AFD≌△CED，可得AF=EC，然后證明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE，再根據線段的和差關系可得AB+BC=2BE．

解答：（1）證明：過D作DF⊥BA，垂足為F，
∵AB+BC=2BE，
∴AB=BE+BE-BC，
AB=BE+BE-BE-EC，
AB=BE-EC，
AB+EC=BE，
∵BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在Rt△BFD和Rt△BED中

DB=DB DF=DE

，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
又∵AB+EC=BE，
∴AF=EC，
在△AFD和△CED中

AF=EC ∠DFA=∠DEC=90° DF=DE

，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴∠DCE=∠FAD，
∵∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；

（2）解：可以互換，結論仍然成立．理由如下：
過D作DF⊥BA，垂足為F，
∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°
∴∠DCE=∠FAD，
∵BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE，
在△AFD和△CED中

DF=DE ∠FAD=∠ECD ∠DFA=∠DEC=90°

，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF=EC，
在Rt△BFD和Rt△BED中

DB=DB DF=DE

，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB=BE，
∴AB+AF=BE，
AB=BE-AF=BE-EC=BE-（BC-BE）=BE-BC+BE=2BE-BC，
即：AB+BC=2BE．

點評：此題主要考查了角平分線的性質，以及全等三角形的判定與性質，關鍵是熟練掌握角平分線上的點到線段兩端點的距離相等．