Question

【題目】如圖，四邊形為的內接四邊形，，平分，，，則的內心與外心之間的距離為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

作DF⊥BA于F，連接AD，DC．只要證明△DFA≌△DEC（ASA），推出AF=CE，Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），推出AF=BE得到四邊形BEDF是正方形，BD是對角線，作△ABC的內切圓，圓心為M，N為切點，連接MN，OM．由切線長定理可知：AN=4，推出ON=5-4=1，由面積法可知內切圓半徑為2，在Rt△OMN中，理由勾股定理即可解決問題．

作DF⊥BA于F，連接AD，DC．

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，

∴DF=DE，∠DFB=∠DEB=90°，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°，

∴∠ADC=∠EDF，

∴∠FDA=∠CDE，

∵∠DFA=∠DEC=90°，

∴△DFA≌△DEC（ASA），

∴AF=CE，

∵BD=BD，DF=DE，

∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），

∴BF=BE，

∴四邊形BEDF是正方形，BD是對角線，

∵BD=7，

∴正方形BEDF的邊長為7，

由（2）可知：BC=2BE-AB=8，

∴AC==10，

作△ABC的內切圓，圓心為M，N為切點，連接MN，OM．

由切線長定理可知：AN==4，

∴ON=5-4=1，

由面積法可知內切圓半徑為2，

在Rt△OMN中，OM=．

∴△ABC的內心與外心之間的距離為，

故答案為．