Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C(0，-3)，對稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）求直線BC的函數表達式；

（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．

①當線段PQ 時，求tan∠CED的值；

②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．

（參考公式：拋物線的頂點坐標是）

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數表達式為．（2）直線BC的函數表達式為．（3）①②， ．

【解析】試題分析：（1）利用拋物線的對稱軸方程可計算出b=-2，再把C（0，-3）代入拋物線解析式可得到c=-3，所以拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3；

（2）根據拋物線與x軸的交點問題得到A（-1，0），B（3，0），然后利用待定系數法求出直線BC的函數解析式；

（3）①由AB=4得PQ=AB=3，根據拋物線的對稱性得到P點和Q點關于直線x=1對稱，則P（-，- ），所以F（0，-），則FC=3-OF= ，由于PQ垂直平分CE于點F，則CE=2FC=，易得D（1，-2），過點D作DG⊥CE于點G，如圖1，則DG=1，CG=1，所以GE=CE=CG= ，然后在Rt△EGD中，利用正切的定義求解；

②設E（0，t），利用兩點間的距離公式得到DE2=12+（t+2）2，CD2=12+（-2+3）2=2，EC2=（t+3）2，然后分類討論：當∠CDE=90°時，DE2+CD2=EC2，即12+（t+2）2+2=（t+3）2；當∠CED=90°時，DE2+CE2=CD2，即12+（t+2）2+（t+3）2=2；當∠ECD=90°時，CD2+CE2=DE2，即2+（t+3）2=12+（t+2）2，再分別解方程求出t確定E點坐標，然后根據二次函數圖象上點的坐標特征確定P點坐標．

試題解析：

（1）依題意得 ， 解得 ，

所以拋物線的函數表達式為．

（2）令=0，得，

所以A(-1，0)，B(3，0)．

設直線BC的函數表達式為，

代入點B(3，0)和點C(0，-3)，得

解得．

所以直線BC的函數表達式為．

（3）①如圖2所示，因為AB＝4，所以PQ．因為P、Q關于直線x＝1對稱，

所以點P的橫坐標為． 所以點P的坐標為，點F的坐標為．

所以 ， ．

所以 ，點E的坐標為．

直線BC: 與拋物線的對稱軸x＝1的交點D的坐標為（1，－2）．

過點D作DH⊥y軸，垂足為H． 在Rt△EDH中，DH＝1， ，

所以tan∠CED．

②由圖3、圖4得點P的坐標為 ， ．

圖2 圖3 圖4

點睛:本題是二次函數的綜合題型,其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法以及用待定系數法求一次函數的解析式和等腰直角三角形的性質,在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果.