Question

【題目】閱讀下面材料:如圖1,圓的概念:在平面內,線段PA繞它固定的一個端點P旋轉一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓.就是說,到某個定點等于定長的所有點在同一個圓上.圓心在P(a,b),半徑為r的圓的方程可以寫為:(x-a)2+(y-b)2=r2.如:圓心在P(2,-1),半徑為5的圓的方程為:(x-2)2+(y+1)2=25.

(1)填空: ①以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓的方程為:________; ②以B(-1,-2)為圓心, 為半徑的圓的方程為:________;

(2)根據以上材料解決以下問題:

如圖2,以B(-6,0)為圓心的圓與y軸相切于原點,C是☉B上一點,連接OC,作BD⊥OC垂足為D,延長BD交y軸于點E,已知sin∠AOC=.

①連接EC,證明EC是☉B的切線;

②在BE上是否存在一點P,使PB=PC=PE=PO,若存在,求P點坐標,并寫出以P為圓心,以PB為半徑的☉P的方程;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1)①方程為:(x-3)2+y2=1;②方程為:(x+1)2+(y+2)2=3.（2）①證明見解析；②存在，證明見解析.

【解析】（1）根據閱讀材料中的定義求解；

（2）①根據垂徑定理由BD⊥OC得到CD=OD，則BE垂直平分OC，再根據線段垂直平分線的性質得EO=EC，則∠EOC=∠ECO，

加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根據切線的判定定理得到EC是⊙B的切線；

②由∠BOE=∠BCE=90°，根據圓周角定理得點C和點O偶在以BE為直徑的圓上，即當P點為BE的中點時，滿足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，則sin∠BOE=sin∠AOC=，在Rt△BOE中，利用正弦的定3義計算出BE=10，利用勾股定理計算出OE=8，則E點坐標為（0，8），于是得到線段AB的中點P的坐標為（﹣3，4），PB=5，然后寫出以P（﹣3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程．

解：①以A（3，0）為圓心，1為半徑的圓的方程為（x﹣3）2+y2=1；

②以B（﹣1，﹣2）為圓心， 為半徑的圓的方程為（x+1）2+（y+2）2=3；

故答案為（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3；

(2)①連接BC.

∵OB=BC,BD⊥OC,∴∠OBD=∠CBD.

又∵BE=BE,

∴△BOE≌△BCE,

∴∠BCE=∠BOE.

∵AO⊥OE,∴∠BCE=90°.

∴EC是☉B的切線.

②存在.

取BE的中點P,連接PC,PO.

∵△BCE和△BOE是直角三角形,

∴PC=BE,PO=BE,

∴PC=PB=PO=PE.

過P作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N.

∵P是BE中點,∴OM=OB,ON=OE.

∵∠AOC+∠EOC=90°,∠BEO+∠EOC=90°,

∴∠AOC=∠BEO.

∵sin∠AOC=,∴sin∠BEO=.

∴=,即=,∴BE=10.

由勾股定理:OE==8,

P(-3,4),PB==5.

∴☉P的方程為(x+3)2+(y-4)2=25.

“點睛”本題了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的判定定理、圓周角定理和等腰三角形的性質；閱讀理解能力也是本題考查的重點；會運用銳角三角函數的定義和勾股定理進行幾何計算．