Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=x+3交x軸負半軸于點A，交y軸于點C，交x軸正半軸于點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上任意一點，設點P的橫坐標為x．

①若點P在第二象限，過點P作PN⊥x軸于N，交直線AC于點M，求線段PM關于x的函數解析式，并求出PM的最大值；

②若點P是拋物線上任意一點，連接CP，以CP為邊作正方形CPEF，當點E落在拋物線的對稱軸上時，請直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+3；（2）①當x=﹣2時，線段PM的長有最大值，最大值為；②P點坐標為（﹣4，0）或（﹣，）或（2，0）或（﹣，）．

【解析】試題分析：（1）利用一次函數解析式確定當C（0，3），A（﹣4，0），然后利用待定系數法確定拋物線解析式；

（2）①設P（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），則M（x，x+3），則PM=﹣x2﹣x+3﹣（x+3），然后根據二次函數的性質解決問題；

②作PK⊥y軸于K，交拋物線的對稱軸于G，如圖，先證明△PEG≌△CPK得到CK=PG，設P（x，﹣x2﹣x+3），拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，則G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），則PG=|﹣1﹣x|=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|，所以|x+1|=|﹣x2﹣x|，然后解絕對值方程求出x，從而得到滿足條件的P點坐標．

試題解析：解：（1）當x=0時，y=x+3=3，則C（0，3）；

當y=0時，x+3=0，解得：x=﹣4，則A（﹣4，0），把A（﹣4，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+3；

（2）①設P（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），則M（x，x+3），∴PM=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x+2）2+

當x=﹣2時，線段PM的長有最大值，最大值為；

②作PK⊥y軸于K，交拋物線的對稱軸于G，如圖．∵四邊形PEFC為正方形，∴PE=PC，∠EPC=90°．∵∠PGE=∠PKC=90°，∴∠PEG=∠CPK，易得△PEG≌△CPK，∴CK=PG，設P（x，﹣x2﹣x+3），拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，則G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），∴PG=|﹣1﹣x|=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|，∴|x+1|=|﹣x2﹣x|，解方程x+1=﹣x2﹣x得：x1=﹣4，x2=﹣；

解方程x+1=x2+x得：x1=2，x2=﹣；

∴P點坐標為（﹣4，0）或（﹣）或（2，0）或（﹣）．