Question

【題目】如圖，已知點A、C在雙曲線上，點 B、D在雙曲線上，AD// BC//y 軸.

(I)當m=6，n=-3，AD=3 時，求此時點 A 的坐標；

(II)若點A、C關于原點O對稱，試判斷四邊形 ABCD的形狀，并說明理由；

(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD的面積為，求mn 的最小值.

Answer 1

【答案】(I) 點的坐標為；(II) 四邊形是平行四邊形，理由見解析；(III) 的最小值是.

【解析】

(I)由，，可得，.分別表示出點A、D的坐標，根據，即可求出點A的坐標.

(II)根據點A、C關于原點O對稱，設點A的坐標為：，即可分別表示出B、C、D的坐標，然后可得出與互相平分可證明出四邊形是平行四邊形.

(III) 設與的距離為，由，，梯形的面積為，可求出h=7，根據，，可得，進而得出答案.

(I) ∵，，∴，，

設點的坐標為，則點的坐標為，

由得：，解得：，

∴此時點的坐標為.

(II)四邊形是平行四邊形，理由如下：

設點的坐標為，

∵點、關于原點對稱，∴點的坐標為，

∵∥∥軸，且點、在雙曲線上，，

∴點 ，點 ，

∴點B與點D關于原點O對稱，即，且、、三點共線.

又點、C關于原點O對稱，即，且、、三點共線.

∴與互相平分.

∴四邊形是平行四邊形.

(III)設與的距離為，，，梯形的面積為，

∴，即，解得：，

設點的坐標為，則點，，，

由，，可得：，

則，，

∴，解得：，

∴，

∵.

∴ .

∴，即 .

又，，

∴當 取到等號 .

即，時， 的最小值是.