Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，下列結論：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．其中正確的個數是（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】

證明△BCO是等腰三角形即可證明①正確；由EG=AB，EF=AB可證②成立；由中點的性質可得出EF∥CD，且EF=CD=BG，結合平行即可證得③結論成立；由三線合一可證明④成立；無法證明⑤成立；此題得解．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BD＝2BO，AD=BC，

∵BD＝2AD，

∴BD＝2BC，

∴BO=BC,

∵E為OC中點，

∴BE⊥AC，故①成立；

∵BE⊥AC，G是AB中點，

∴EG=AB，

∵E、F分別是OC、OD的中點，
∴EF∥CD，且EF=CD，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，且AB=CD，

∴EF=AB，

∴EF=EG，故②成立；

∵AB∥CD，EF∥CD，

∴EF∥AB,

∴∠FEG=∠BGE（兩直線平行，內錯角相等），

在△EFG和△GBE中，

∵BG=FE，∠FEG=∠BGE，GE=EG，

∴△EFG≌△GBE（SAS），即③成立；

∵BG=FE，EF∥AB,

∴四邊形BEFG是平行四邊形，

∵BE⊥AC，

∴GF⊥AC，

∵EF=EG，

∴∠AEG=∠AEF,

即EA平分∠GEF

故④正確，

若四邊形BEFG是菱形

∴BE＝BG＝AB，

∴∠BAC＝30°

與題意不符合

故⑤錯誤

故選C．