Question

【題目】如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c經過點A（2，﹣3）與C（0，﹣3），與x軸負半軸的交點為B．

（1）求拋物線的解析式與點B坐標；

（2）若點D在x軸上，使△ABD是等腰三角形，求所有滿足條件的點D的坐標；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，若以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，其中AB∥MN，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（﹣1，0）；（2）點D坐標為，，（2，0），（5，0）；（3）M（4，5）或（﹣2，5）

【解析】

(1)將點A,C的坐標代入求解即可.

(2) 作AM⊥x軸于M,分類討論當BA=BD時,點D在B的左側和點D在B的右側,D點坐標;當AD=BD時,D點坐標;當AB=AD時,D點坐標.

(3)拋物線圖象得A、B,、N的坐標,結合圖象可得兩種可能情況,代入求值即可.

（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過點A（2，﹣3）與C（0，﹣3）

∴，

解得，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3，

當y＝0時，解得x1＝3，x2＝﹣1

∵點B在x軸負方向，

∴點B坐標為（﹣1，0）；

（2）作AM⊥x軸于M，

∴點M（2，0），AM＝3，

∴AM＝BM＝3，

∴∠ABM＝45°

∴AB＝

當BA＝BD時，若點D在B點左側，此時點D，

若點D在B點右側，此時點D，

當AD＝BD時，顯然點D即為點M，坐標（2，0），

當AB＝AD時，DM＝BM＝3，此時點D（5，0），

綜上所述：點D坐標為，，（2，0），（5，0）；

（3）拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3，

∴對稱軸為x＝1，即點N橫坐標為1，

∵以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，其中AB∥MN，

∴xB﹣xM＝xA﹣xN或xB﹣xN＝xA﹣xM，

∴﹣1﹣xM＝2﹣1或﹣1﹣1＝2﹣xM，

∴xM＝﹣2或4，

∴M（4，5）或（﹣2，5）．