Question

【題目】如圖1，D是⊙O的直徑BC上的一點，過D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一點，過F的直線分別與CB、DE的延長線相交于A、P，連結(jié)CF交PD于M，∠C＝∠P．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若∠A＝30°，⊙O的半徑為4，DM＝1，求PM的長；

（3）如圖2，在（2）的條件下，連結(jié)BF、BM；在線段DN上有一點H，并且以H、D、C為頂點的三角形與△BFM相似，求DH的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PM＝4﹣2；（3）滿足條件的DH的值為 或．

【解析】

（1）如圖1中，作PH⊥FM于H．想辦法證明∠PFH=∠PMH，∠C=∠OFC，再根據(jù)等角的余角相等即可解決問題；

（2）解直角三角形求出AD，PD即可解決問題；

（3）分兩種情形①當(dāng)△CDH∽△BFM時，．

②當(dāng)△CDH∽△MFB時，，分別構(gòu)建方程即可解決問題；

（1）證明：如圖1中，作PH⊥FM于H．

∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，

∵∠C＝∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，

∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，

∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，

∵∠C+∠CMD＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，

∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，

∴直線PA是⊙O的切線．

（2）解：如圖1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，

∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，

∵⊙O的半徑為4，DM＝1，

∴OA＝2OF＝8，CD＝DM＝ ，

∴OD＝OC﹣CD＝4﹣ ，

∴AD＝OA+OD＝8+4﹣ ＝12﹣ ，

在Rt△ADP中，

DP＝ADtan30°＝（12﹣ ）× ＝4 ﹣1，

∴PM＝PD﹣DM＝4 ﹣2．

（3）如圖2中，

由（2）可知：BF＝BC＝4，FM＝BF＝4 ，CM＝2DM＝2，CD＝ ，

∴FM＝FC﹣CM＝4﹣2，

①當(dāng)△CDH∽△BFM時， ，

∴ ，∴DH＝

②當(dāng)△CDH∽△MFB時，，

∴ ，∴DH＝ ，

∵DN＝ ，

∴DH＜DN，符合題意，

綜上所述，滿足條件的DH的值為 或．