Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點E在斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與BC邊相切于點D，連結AD.

（1）求證：AD是∠BAC的平分線；

（2）若AC=3，BC=4，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）連接OD，由⊙O與BC邊相切于點D可得∠ODB=∠C=90°，從而可得OD∥AC，由此即可得到∠CAD=∠ADO，由OD=OA可得∠DAO=∠ODA，即可得到∠CAD=∠DAO，從而得到AD是∠BAC的角平分線；

（2）在Rt△ABC中，由AC=3，BC=4易得AB=5，由tanB=，設OD=3x，則BD=4x，由此在Rt△OBD中可得OB=5x，結合OA=OD=3x可得AB=8x=5，解得x=，即可得到⊙O的半徑為： .

試題分析：

（1）如圖，連接OD，

∵⊙O與BC邊相切于點D，

∴∠ODB=∠C=90°，

∴OD∥AC，

∴∠CAD=∠ADO，

∵OD=OA，

∴∠DAO=∠ODA，

∴∠CAD=∠DAO，

∴AD是∠BAC的角平分線；

（2）∵在Rt△ABC中，由AC=3，BC=4，

∴AB=，

∵tanB=，

∴可設OD=3x，則BD=4x，

∴OB=，

又∵OA=OD=3x，

∴AB=3x+5x=8x=5，解得：x=，

∴⊙O的半徑OD=3x=.