Question

【題目】如圖，四邊形中，，，．

（1）求證：；

（2）若，，，分別是，，，的中點，求證：線段與線段互相平分．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）過點D作DM∥AC交BC的延長線于點M，由平行四邊形的性質易得AC=DM=DB，∠DBC=∠M=∠ACB，由全等三角形判定定理及性質得出結論；
（2）連接EH，FH，FG，EG，E，F，G，H分別是AD，BC，DB，AC的中點，易得四邊形HFGE為平行四邊形，由平行四邊形的性質及（1）結論得□HFGE為菱形，易得EF與GH互相垂直平分．

解：（1）證明：（1）過點D作DM∥AC交BC的延長線于點M，如圖1，
∵AD∥CB，
∴四邊形ADMC為平行四邊形，
∴AC=DM=DB，∠DBC=∠M=∠ACB，
在△ACB和△DBC中，

，

∴△ACB≌△DBC（SAS），
∴AB=DC；

（2）連接EH，FH，FG，EG，如圖2，
∵E，F，G，H分別是AD，BC，DB，AC的中點，
∴GE∥AB，且GE=AB，HF∥AB，且HF=AB，

∴GE∥HF，GE=HF，

∴四邊形HFGE為平行四邊形，
由（1）知，AB=DC，
∴GE=HE，
∴□HFGE為菱形，
∴EF與GH互相垂直平分．