Question

【題目】閱讀并解決問題:歸納

人們通過長期觀察發現，如果早晨天空中有棉絮狀的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語.在數學里，我們也常用這樣的方法探求規律，例如:三角形有3個頂點，如果在它的內部再畫n個點，并以(n+3)個點為頂點,把三角形剪成若干個小三角形，那么最多可以剪得多少個這樣的三角形? .為了解決這個問題，我們可以從n=1、n=2、nr=3 等具體的、簡單的情形入手，探索最多可以剪得的三角形個數的變化規律.

(1)完成表格信息：_______、_________;

(2)通過觀察、比較,可以發現：三角形內的點每增加1個，最多可以剪得的三角形增加_________個.于是，我們可以猜想：當三角形內的點的個數為n時，最多可以剪得____________個三角形.像這樣通過對現象的觀察、分析，從特殊到-般地探索這類現象的規律、提出猜想的思想方法稱為歸納.在日常生活中，人們互相交談時，常常有人在列舉了一些現象后，說“這(即列舉的現象)說明....其實這就是運用了歸納的方法.用歸納的方法得出的結論不一定正確，是否正確需要加以證實.

(3)請你借助表格嘗試用歸納的方法探索: 1+3+5+7+......+(2n-1)的和是多少?并加以證實.

Answer 1

【答案】（1）5，7；（2）2，2n+1；（3）S=n2，見解析

【解析】

（1）由圖形規律可得，答案為5，7；

（2）因為5-3=7-5=2，所以三角形內的點每增加1個，最多可以剪得的三角形增加2個；∵三角形內點的個數為1時，最多剪出的小三角形個數3=2×1+1，因為三角形內點的個數為2時，最多剪出的小三角形個數5=2×2+1，三角形內點的個數為3時，7最多剪出的小三角形個數7=2×3+1，所以三角形內點的個數為n時，最多剪出的小三角形個數2n+1；

（3）用倒序相加法證明即可．

（1）把表格補充完整如下：

故答案為：5，7；

（2）∵5-3=7-5=2，

∴三角形內的點每增加1個，最多可以剪得的三角形增加2個；

∵三角形內點的個數為1時，最多剪出的小三角形個數3=2×1+1，

三角形內點的個數為2時，最多剪出的小三角形個數5=2×2+1，

三角形內點的個數為3時，7最多剪出的小三角形個數7=2×3+1，

……

∴三角形內點的個數為n時，最多剪出的小三角形個數為2n+1．

故答案為2，（2n+1）；

（3）

證明：∵S=1+3+5+7+…+（2n-5）+（2n-3）+（2n-1），

∴S=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+7+5+3+1，

∴S+S=2nn=2n2，

2S=2n2

S=n2