Question

【題目】如圖，已知一次函數y＝2x的圖象與反比例函數y＝（x＞0），y＝（x＞0）的圖象分別交于P，Q兩點，點P為OQ的中點，Rt△ABC的直角頂點A是雙曲線y＝（x＞0）上一動點，頂點B，C在雙曲線y＝（x＞0）上，且兩直角邊均與坐標軸平行．

（1）直接寫出k的值；

（2）△ABC的面積是否變化？若不變，求出△ABC的面積；若變化，請說明理由；

（3）直線y＝2x是否存在點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）△ABC的面積不變，；（3）存在，（，）、（，）或（2，4）．

【解析】

（1）設點P（m，），Q（n，），根據P為OQ的中點，即可得出m、n之間的關系，由此即可得出k值；

（2）△ABC的面積不變，設A（a，）（a＞0），根據AB、AC與坐標軸平行找出點B、C的坐標，由此即可得出AB、AC，再根據三角形的面積公式即可得出結論；

（3）假設存在，設A（a，）（a＞0），則C（a，），B（，）．以A，B，C，D為頂點的四邊形分別是以AB、AC、BC為對角線的平行四邊形，根據平行四邊形對角線互相平分的性質找出點D的坐標，再根據點D在直線y=2x上找出關于a的方程，解方程求出a值，將其代入A點坐標中即可得出結論．

解：（1）∵點P在反比例函數y＝（x＞0）上，點Q在反比例函數y＝（x＞0）上，

∴設點P（m，），Q（n，），

∵點P為OQ的中點，

∴n＝2m，＝2，

∴k＝8．

（2）△ABC的面積不變，

設A，則C，

令y＝中y＝，則x＝，

∴點B（，），

∴AB＝＝，AC＝﹣＝，

∴S△ABC＝ABAC＝＝．

（3）假設存在，設A，則C，B（，）．

以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形分三種情況：

①以AB為對角線，

則點D（，），即（，），

∵點span>D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝或a＝（舍去），

此時點A（，）；

②以AC為對角線，

則點D（，），即（，），

∵點D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝或a＝﹣（舍去），

此時點A（，）；

③以BC為對角線，

則點D（，），即（，），

∵點D在y＝2x上，

∴＝2，

解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），

此時點A（2，4）．

故直線y＝2x存在點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，點A的坐標為（，）、（，）或（2，4）.