Question

如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數y=kx（k≠0）的圖象與反比例函數y=

3

x

的圖象分別交于第一、三象限的點B、D，已知點A（-m，0）、C（m，0）．連接AB、BC、CD、DA．
（1）四邊形ABCD的形狀一定是

 

．
（2）若m=2且四邊形ABCD是矩形，求點B的坐標．
（3）試探究：當直線y=kx繞原點O旋轉時，四邊形ABCD能不能是菱形？若能，請直接寫出A、B、C、D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABCD為平行四邊形，理由為：由A與C的坐標得到OA與OC相等，又根據對稱的性質得到OB與OD相等，然后根據對角線平分的四邊形為平行四邊形得證；
（2）把m=2代入即可確定出A與C的坐標，又根據矩形的對角線互相平分且相等，得到OB與OC相等都等于2，設出點B的坐標為（x，y），代入到反比例解析式中得到一個方程，根據勾股定理，由B的橫縱坐標表示出OB的長，然后令其值為2列出另一個方程，兩方程聯立即可求出x與y的值，進而得出點B的坐標；
（3）利用反證法來證，先假設四邊形ABCD是菱形，根據菱形的對角線互相平分且互相垂直，得到OA=OC，OB=OD，且AC與BD垂直，又A與C在x軸上，故B與D在y軸上，與雙曲線y=

3

x

不與坐標軸相交矛盾，所以假設錯誤，故四邊形ABCD不能為菱形．

解答：解：（1）四邊形ABCD一定是平行四邊形，（2分）理由如下：
∵A（-m，0）、C（m，0），
∴OA=OC，
由對稱性可知OB=OD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）當m=2時，點C的坐標為（2，0），點A的坐標為（-2，0），（3分）
若四邊形ABCD是矩形，則有OB=OC=2
設點B的坐標為（x，y），得

x2+y2=22 xy= 3

，（5分）
解得：

x1=1 y1= 3

，

x2= 3 y2=1

（負值舍去），（6分）
∴點B的坐標為（1，

3

）或（

3

，1）；（7分）

（3）若四邊形ABCD是菱形，（8分）
∵OA=OC，OB=OD，
則 BD⊥AC，
又∵點A、點C在x軸上，
∴直線BD與y軸重合，這與“雙曲線y=

3

x

不與坐標軸相交”矛盾，（11分）
∴四邊形ABCD不可能是菱形．（12分）
故答案為：平行四邊形．

點評：此題考查了平行四邊形、矩形的性質，反證法以及一次函數與反比例函數的綜合．要求學生掌握平行四邊形及矩形的性質，理解反證法的步驟，綜合運用所學知識，培養了學生發現問題，分析問題及解決問題的能力．學生在作第二問，求B坐標時注意B點在第一象限這個條件．其中反證法的步驟為：先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、公理、已證的定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立．