Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點D在BC邊上，點E在AB的延長線上，將DE繞D點順時針旋轉120°得到DF．

（1）如圖1，若點F恰好落在AC邊上，求證：點D是BC的中點；

（2）如圖2，在（1）的條件下，若=45°，連接AD，求證：；

（3）如圖3，若，連CF，當CF取最小值時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）3.

【解析】

（1）要證明D是線段的中點，最常見的作法是證明兩線段所在三角形全等，過點D作DH⊥AB,DG⊥AC，構建出線段所在的三角形，然后根據四邊形內角和，確定相等的角，根據旋轉的性質確定相等的邊，求，根據三角形全等的性質，得到條件進而求證解決.

（2）設出CG為x，根據等邊三角形的性質和直角三角形中銳角三角函數，將BE、CF、AD的邊分別用x表示出來，進而求證即可.

（3）延長DB至點K，使BK=BE，過點D作DQ∥AB且DQ=AB,連接AQ，根據平行線的性質和等邊三角形的性質，證明△DEK≌DFQ，得出∠FQD=60°，FQ所在直線即為F的軌跡，然后根據直角三角形中邊角關系，判斷出CD與PD的關系，然后確定PD與CQ的關系，最后確定的值即可.

解：(1) 過點D作DH⊥AB,DG⊥AC，如圖：

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ A=∠ C=∠ ABC=60°

∵∠EDF=120°，

故D為BC的中點

（2）證明：

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°

設CG為m，

在Rt△CGD中，

在Rt△FGD中,

∵∠DFG=45°

∴DG=GF=

∴CF=CG+GF=

∵D是BC的中點

∴BD=CD=2m

在Rt△BDH中，

BH=BD×cos60°=2m×=m

∵DF是由DE旋轉得到

∴DE=DF=

在Rt△EDH中，

BE=EH-BH=-m=

∴CF+BE=+

在Rt△ADC中，

AD=CD×tan60°=2m×=

∴CF+BE=AD

（3）解：

延長DB至點K，使BK=BE

過點D作DQ∥AB且DQ=AB,連接AQ

∵BE=CD，BE=BK

∴BK=CD

∴BC=BD+CD=BD+BK=DK

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=BC=AC

∵DQ=AB,

∴DK=DQ

∵DQ∥AB

∠BDQ+∠ABC=120°

∵∠BDF=120°

∴∠EDB=∠FDQ

在△DEK和DFQ中

∴△DEK≌DFQ（SAS）

∴∠FQD=∠K

∵△ABC為等邊三角形

∴∠ABC=60°

又∵BK=NE,∠KBE=∠ABC=60°

∴∠K=∠BEK=60°

∠FQD=∠K=60°

∴F的軌跡為直線FQ,

∴當CF⊥FQ時，CF最小，此時DQ與CF相交于點P,

在Rt△PFQ中，

∵∠FPQ=90°-60°

∴PQ=2FQ

∵∠BDQ=120°，

∴∠PDC=60°，

在△FQP和△CDP中，

∴△FQP≌△CDP（AAS）

∴PQ=PD

在Rt△PDC中，

∵∠PDC=∠PQF=60°

∴

PQ=2CD

∴DQ=4CD

∴KD=4CD

又∵KB=CD

∴