Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D，E分別在直角邊AC，BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P．則下列結論：(1)AD+BE=AC；(2)AD2+BE2=DE2；(3)△ABC的面積等于四邊形CDOE面積的2倍；(4)OD=OE．其中正確的結論有( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由等腰直角三角形的性質可得AC=BC，CO=AO=BO，∠ACO=∠BCO=∠A=∠B=45°，CO⊥AO，由“ASA”可證△ADO≌△CEO，△CDO≌△BEO，由全等三角形的性質可依次判斷．

∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，

∴AC=BC，CO=AO=BO，∠ACO=∠BCO=∠A=∠B=45°，CO⊥AO

∵∠DOE=90°，

∴∠COD+∠COE=90°，且∠AOD+∠COD=90°

∴∠COE=∠AOD，且AO=CO，∠A=∠ACO=45°，

∴△ADO≌△CEO(ASA)

∴AD=CE，OD=OE，故④正確，

同理可得：△CDO≌△BEO

∴CD=BE，

∴AC=AD+CD=AD+BE，故①正確，

在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，

∴AD2+BE2=DE2，故②正確，

∵△ADO≌△CEO，△CDO≌△BEO

∴S△ADO=S△CEO，S△CDO=S△BEO，

∴△ABC的面積等于四邊形CDOE面積的2倍；故③正確，

綜上所述：正確的結論有①②③④，

故選D．