Question

【題目】學習與探究：

在等邊△ABC中，P是射線AB上的一點．

（1）探索實踐：

如圖1，P是邊AB的中點，D是線段CP上的一個動點，以CD為邊向右側作等邊△CDE，DE與BC交于點M，連結BE．

①求證：AD＝BE；

②連結BD，當DB+DM最小時，試在圖2中確定D的位置，并說明理由；（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡）

③在②的條件下，求△CME與△ACM的面積之比．

（2）思維拓展：

如圖3，點P在邊AB的延長線上，連接CP，點B關于直線CP的對稱點為B'，連結AB'，CB'，AB'交BC于點N，交直線CP于點G，連結BG．請判斷∠AGC與∠AGB的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析，③1:3；（2）∠AGC＝∠AGB，理由見解析

【解析】

1）探索實踐

①根據等邊三角形的性質可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，可得∠ACD＝∠BCE，根據“SAS”可證△ACD≌△BCE，即可得AD＝BE；

②根據等腰三角形的性質可得AD＝BD，即BD+DM＝AD+DM，則當點A，點D，點M三點共線且AM⊥BC時，BD+DM值最小，即AM平分∠CAB；

③根據等邊三角形的性質可求AM＝3ME，由△CME與△ACM是等高的兩個三角形，即△CME與△ACM的面積之比等于ME與AM的比值；

（2）思維拓展

根據軸對稱的性質和等腰三角形的性質可得∠CAB'＝∠CBG，可證點A，點B，點G，點C四點共圓，可得∠AGC＝∠ABC＝60°，∠AGB＝∠ACB＝60°，即∠AGC＝∠AGB．

（1）探索實踐

①在等邊△ABC與等邊△CDE中：AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD+∠DCM＝∠DCM+∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE

（2）②如圖，作∠BAC的平分線交CP于D，連結BD，

∵P是邊等邊△ABC中AB邊的中點

∴CP是AB邊上的中線，

由“等腰三角形的三線合一”性質知，CP是AB的垂直平分線，CP平分∠ACB，

∴DB＝DA，∠PCB＝30°

要使DB+DM最小，只要DA+DM最小，即當A，D，M共線時，且AM⊥BC時，AM最小，

此時DB+DM最小

③∵∠ACD＝∠CAD＝∠DCM＝∠ECM＝30°，CM⊥AM

∴DC＝DA＝DE，DM＝EM＝DE，

∴AM＝3ME

又∵Rt△CME的邊ME上的高與Rt△ACM的邊AM上的高均是CM

∴S△CME：S△ACM＝1：3

（2）思維拓展

∠AGC＝∠AGB

理由如下：∵點B關于直線CP的對稱點為B'，

∴BC＝CB'，∠CB'G＝∠CBG，

∴AC＝BC＝B'C

∴∠CAB'＝∠CB'A，

∴∠CAB'＝∠CBG，

∴點A，點B，點G，點C四點共圓，

∴∠AGC＝∠ABC＝60°，∠AGB＝∠ACB＝60°，

∴∠AGC＝∠AGB