Question

【題目】如圖，線段CD垂直平分線段AB，垂足為H，CA的延長線交BD的延長線于E，CB的延長線交AD的延長線于F．

（1）求證：DE＝DF；

（2）若AE＝AB，∠E＝22.5°，則直接寫出圖中內角含有45°等腰三角形（寫出3個即可）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ACH，△BCH，△CAB都是含45°角的等腰三角形，理由見解析.

【解析】

（1）根據線段垂直平分線得出AC＝BC，BD＝AD，推出∠CBE＝∠CAF，證△BCE≌△ACF，推出BE＝AF，即可得出答案；

（2）根據全等三角形的性質和垂直的定義即可得到結論．

（1）證明：∵線段CD垂直平分AB，

∴AC＝BC，AD＝BD，

∴∠CAB＝∠CBA，∠BAD＝∠ABD，

∴∠CAB+∠BAD＝∠CBA+∠ABD，

即∠CBE＝∠CAF，

在△BCE和△ACF中

∵，

∴△BCE≌△ACF（ASA），

∴BE＝AF，

∵BD＝AD，

∴BE﹣BD＝AF﹣AD，

即DE＝DF；

（2）解：△ACH，△BCH，△CAB都是含45°角的等腰三角形，

理由：由（1）證得△BCE≌△ACF，

∴CE＝CF，

∴AE＝BF，

∵AB＝AE，

∴AB＝BF，

∴∠E＝∠ABE＝∠BAF＝∠F＝22.5°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵CD⊥AB，

∴∠AHC＝∠BHC＝90°，

∴∠ACH＝∠BCH＝45°．

即：△ACH，△BCH，△CAB都是含45°角的等腰三角形