Question

【題目】（問題提出）：有同樣大小正方形256個，拼成如圖1所示的的一個大的正方形．請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過多少個小正方形？

（問題探究）：我們先考慮以下簡單的情況：一條直線穿越一個正方形的情況．（如圖2）

從圖中我們可以看出，當一條直線穿過一個小正方形時，這條直線最多與正方形上、下、左、右四條邊中的兩個邊相交，所以當一條直線穿過一個小正方形時，這條直線會與其中某兩條邊產生兩個交點，并且以兩個交點為頂點的線段會全部落在小正方形內．

這就啟發我們：為了求出直線最多穿過多少個小正方形，我們可以轉而去考慮當直線穿越由小正方形拼成的大正方形時最多會產生多少個交點.然后由交點數去確定有多少根小線段，進而通過線段的根數確定下正方形的個數．

再讓我們來考慮正方形的情況（如圖3）：

為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線右上方至左下方穿過一個的正方形，我們從兩個方向來分析直線穿過正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的兩條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的四條線段；這樣直線最多可穿過的大正方形中的六條線段，從而直線上會產生6個交點，這6個交點之間的5條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線最多能經過5個小正方形．

（問題解決）：

（1）有同樣大小的小正方形16個，拼成如圖4所示的的一個大的正方形．如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過_________個小正方形．

（2）有同樣大小的小正方形256個，拼成的一個大的正方形.如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過___________個小正方形．

（3）如果用一條直線穿過的大正方形的話，最多可以穿過___________個小正方形．

（問題拓展）：

（4）如果用一條直線穿過的大長方形的話（如圖5），最多可以穿過個___________小正方形．

（5）如果用一條直線穿過的大長方形的話（如圖6），最多可以穿過___________個小正方形．

（6）如果用一條直線穿過的大長方形的話，最多可以穿過________個小正方形．

（類比探究）：

由二維的平面我們可以聯想到三維的立體空間，平面中的正方形中四條邊可聯想到正方體中的正方形的六個面，類比上面問題解決的方法解決如下問題：

（7）如圖7有同樣大小的小正方體8個，拼成如圖所示的的一個大的正方體.如果用一條直線穿過這個大正方體的話，最多可以穿過___________個小正方體．

（8）如果用一條直線穿過的大正方體的話，最多可以穿過_________個小正方體．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）31；（3）；（4）4；（5）6 ；（6）；（7）4；（8）

【解析】

（1）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個4×4的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過4×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會產生8個交點，這8個交點之間的7條線段，這樣就不難得到答案．

（2）應用規律2n-1得到答案．

（3）應用規律2n-1得到答案．

（4）應用規律2n-1得到答案．

（5）我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個2×3的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過2×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4條線段；這樣直線L最多可穿過2×3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會產生5個交點，這5個交點之間的4條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過4個小正方形．

（6）不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個3×4的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過3×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的2條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的7條線段，從而直線L上會產生7個交點，這7個交點之間的6條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過6個小正方形．

（7）不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個m×n的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過m×n正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的（m-1）條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的（n+1）條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的（m+n）條線段，從而直線L上會產生（m+n）個交點，這m+n個交點之間的（m+n-1）條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過（m+n-1）個小正方形．

（8）用類似的方法得到規律：3n-2．即可解決．

（9）根據規律3n-2得到答案．

（1）再讓我們來考慮4×4正方形的情況（如圖4）：為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個4×4的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過4×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會產生8個交點，這8個交點之間的7條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過7個小正方形．

故答案為7

（2）我們發現直線穿越1×1正方形時最多經過1個正方形，直線穿越2×2正方形時最多經過3個正方形，直線穿越3×3正方形時最多經過5個正方形，

直線穿越4×4正方形時最多經過7個正方形，…直線穿越n×n正方形時最多經過2n-1個正方形．

∴直線穿越10×10正方形時最多經過19個正方形．

故答案為19．

（3）由（2）可知，有2×16-1=31個正方形，

故答案為31．

（4）由（2）可知有2n-1個正方形．

故答案為2n-1．

（5）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個2×3的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過2×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4條線段；這樣直線L最多可穿過2×3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會產生5個交點，這5個交點之間的4條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過4個小正方形，

故答案為4．

（6）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個3×4的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過3×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的2條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的7條線段，從而直線L上會產生7個交點，這7個交點之間的6條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過6個小正方形．

故答案為6．

（7）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線L右上方至左下方穿過一個m×n的正方形，我們從兩個方向來分析直線l穿過m×n正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的（m-1）條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的（n+1）條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的（m+n）條線段，從而直線L上會產生（m+n）個交點，這m+n個交點之間的（m+n-1）條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線L最多能經過（m+n-1）個小正方形，

故答案為（m+n-1）．

（8）用類似的方法可以得到：用一條直線穿過1×1×1正方體的話，最多可以穿過1個小正方體，用一條直線穿過，2×2×2正方體的話，最多可以穿過4個小正方體，用一條直線穿過，3×3×3正方體的話，最多可以穿過7個小正方體，用一條直線穿過4×4×4正方體的話，最多可以穿過10個小正方體，…用一條直線穿過，n×n×n正方體的話，最多可以穿過（3n-2）個小正方體．

故答案為4．

（9）由（8）可知有（3n-2）個正方形，

故答案為（3n-2）．