Question

如圖，等腰直角三角形AEF的頂點E在等腰直角三角形ABC的邊BC上．AB的延長線交EF于D點，其中∠AEF=∠ABC=90°．
（1）求證：

AD

AE

=

2 AE

AC

；
（2）若E為BC的中點，求

DB

DA

的值．

Answer 1

分析：（1）由△AEF、△ABC是等腰直角三角形，易證得△FAD∽△CAE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得

AD

AE

=

AF

AC

，又由等腰直角三角形的性質，可得AF=

2

AE，即可證得

AD

AE

=

2 AE

AC

；
（2）首先設BE=a，由射影定理，可求得DB的長，繼而可求得DA的長，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵△AEF、△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠BAC=45°，∠F=∠C=45°，
∴∠FAD=∠CAE，
∴△FAD∽△CAE，
∴

AD

AE

=

AF

AC

，
∵∠AEF=90°，AE=EF，
∴AF=

2

AE，
∴

AD

AE

=

2 AE

AC

；

（2）解：設BE=a，
∵E為BC的中點，
∴EC=BE=a，AB=BC=2a，
∵∠AEF=∠ABC=90°，
∴BE²=AB•DB，
∴DB=

a

2

，
∵DA=DB+AB，
∴DA=

5

2

a，
∴

DB

DA

=

1

5

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及射影定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．