Question

如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分別為AB、AC邊上的點，AD=AE，AF⊥BE交BC于點F，過點F作FG⊥CD交BE的延長線于點G，交AC于點M．
（1）求證：△ADC≌△AEB；
（2）判斷△EGM是什么三角形，并證明你的結論；
（3）判斷線段BG、AF與FG的數量關系并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首先得出AC=AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；
（2）利用△ACD≌△ABE，得出∠1=∠3，再由∠BAC=90°，可得∠3+∠2=90°，結合FG⊥CD可得出∠3=∠CMF，∠GEM=∠GME，繼而可得出結論；
（3）先大致觀察三者的關系，過點B作AB的垂線，交GF的延長線于點N，利用（1）的結論可將AF轉化為NF，BG轉化為NG，從而在一條直線上得出三者的關系．

解答：（1）證明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
在△ADC和△AEB中

AC=AB ∠CAD=∠BAE AD=AE

∴△ADC≌△AEB（SAS），

（2）△EGM為等腰三角形；
理由：∵△ADC≌△AEB，
∴∠1=∠3，
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM為等腰三角形．

（3）線段BG、AF與FG的數量關系為BG=AF+FG．
理由：如圖所示：過點B作AB的垂線，交GF的延長線于點N，
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=45°=∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°-∠EBC，∠5+∠2=90°，
由（1）可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
在△BFN和△BFA中

∠FBN=∠FBA BF=BF ∠BFN=∠BFA

∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF=AF，∠N=∠5，
又∵∠GBN+∠2=90°，
∴∠GBN=∠5=∠N，
∴BG=NG，
又∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質，難度較大，尤其是第3問的證明，要學會要判斷三條線段之間的關系，一般都需要轉化到同一條直線上進行．