Question

在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數y=x²+bx+c的圖象與y軸的負半軸相交于點C（如圖），點C的坐標為（0，-3），且BO=CO．
（1）求出B點坐標和這個二次函數的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若P是拋物線對稱軸上一個動點，求當PA+PC的值最小時P點坐標．

Answer 1

分析：（1）由BO=CO及點C的坐標為（0，-3），就可以求出B的坐標，再把B、C的坐標代入解析式就可以求出二次函數的解析式；
（2）當y=0時求出x的值，就可以求出A點的坐標，從而求出AB的長，OC是高就可以求出三角形ABC的面積．
（3）根據軸對稱的性質及拋物線的圖象特征可以得出A點關于拋物線對稱軸的對稱點是B點．連接BC與對稱軸的交點就是P點，求出BC的解析式，把對稱軸的橫坐標代入直線的解析式就可以求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵點C的坐標為（0，-3），
∴OC=3，
∵BO=CO，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴

-3=c 0=9+3b+c

，
解得：

b=-2 c=-3

，
∴二次函數的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵二次函數的解析式為：y=x²-2x-3，
∴當y=0時，x₁=-1，x₂=3，
∴AB=4，
S_△ABC=

4×3

2

=6；

（3）由拋物線的對稱性可以得出點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，
∴連接BC交對稱軸于點P，則點P是所求的點，
∵y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴對稱軸為：x=1，
∴P點的橫坐標為1，設直線BC的解析式為：y=kx+b，則

-3=b 0=3k+b

，
解得；

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為：y=x-3，
∴x=1，時，y=-2，
∴P（1，-2）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了運用待定系數法求函數的解析式，三角形的面積，軸對稱，最短路線問題．