Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發．以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為多少（用含x的代數式表示）；
（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值；
（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）求P點的坐標，也就是求OM和PM的長，已知了OM的長為x，關鍵是求出PM的長，方法不唯一，①可通過PM∥OC得出的對應成比例線段來求；
②也可延長MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根據CQ的長和∠ACB的正切值求出PQ的長，然后根據PM=AB-PQ來求出PM的長．得出OM和PM的長，即可求出P點的坐標．
（2）可按（1）②中的方法經求出PQ的長，而CN的長可根據CN=BC-BN來求得，因此根據三角形的面積計算公式即可得出S，x的函數關系式．
（3）本題要分類討論：
①當CP=CN時，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長即x和∠ABC的余弦值求出CP的表達式，然后聯立CN的表達式即可求出x的值；
②當CP=PN時，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的長，然后根據QN=CN-CQ求出QN的表達式，根據題設的等量條件即可得出x的值．
③當CN=PN時，先求出QP和QN的長，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的長，聯立CN的表達式即可求出x的值．

解答：解：（1）過點P作PQ⊥BC于點Q，
有題意可得：PQ∥AB，
∴△CQP∽△CBA，
∴

QP

CQ

=

AB

BC

，
∴

QP

x

=

3

4

，
解得：QP=

3

4

x，
∴PM=3-

3

4

x，
由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），
P點坐標為（x，3-

3

4

x）．

（2）設△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4-x，
NC邊上的高為

3

4

x，其中，0≤x≤4．
∴S=

1

2

（4-x）×

3

4

x=

3

8

（-x²+4x）
=-

3

8

（x-2）²+

3

2

．
∴S的最大值為

3

2

，此時x=2．

（3）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=x．
∴3x=4，
∴x=

4

3

．
②若CP=CN，則CN=4-x，PQ=

3

4

x，CP=

5

4

x，4-x=

5

4

x，
∴x=

16

9

；
③若CN=NP，則CN=4-x．
∵PQ=

3

4

x，NQ=4-2x，
∵在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²，
∴（4-x）²=（4-2x）²+（

3

4

x）²，
∴x=

128

57

．
綜上所述，x=

4

3

，或x=

16

9

，或x=

128

57

．

點評：本題主要考查了矩形的性質、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識點．