Question

如圖在平面直角坐標系中，A點坐標為（8，0），B點坐標為（0，6）C是線段AB的中點．請問在y軸上是否存在一點P，使得以P、B、C為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：首先由A點坐標為（8，0），B點坐標為（0，6），根據勾股定理，求得AB的長，又由C是線段AB的中點，求得BC的長，然后分別從①如圖1，若△PNC∽△OBA與②如圖2，若△PBC∽△ABO去分析求解即可求得答案．

解答：解：存在這樣的P點．理由如下：
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是線段AB的中點，
∴BC=5．
∵∠ABO是公共角，
①如圖1，若△PBC∽△OBA，
則需PB：OB=BC：BA，
即

PB

6

=

5

10

，
解得：PB=3，
∴P點的坐標為（0，3）；
②如圖2，若△PBC∽△ABO，
∴PB：AB=BC：OB，
即

PB

10

=

5

6

，
解得：PB=

25

3

，
∴OP=PB-OB=

7

3

，
∴P點的坐標為（0，-

7

3

）．
∴P（0，3）或（0，-

7

3

）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及平面直角坐標系中點的坐標特征等知識．此題難度適中，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．