Question

【題目】如圖，已知二次函數y=x2－mx－m－1的圖像交x軸于A、B兩點（A、B分別位于坐標原點O的左、右兩側），交y軸于點C，且△ABC的面積為6．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）若P為平面內一點，且PB=3PA，試求當△PAB的面積取得最大值時點P的坐標，并求此時直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）5∶3或1∶15．

【解析】

（1）分別求出A，B，C的坐標，結合△ABC的面積為6，列出關于m的方程，求出m的值，即可得到二次函數解析式；

（2）設P(a，b)，根據PB=3PA以及兩點間的距離公式，得到b2關于a的二次函數，利用二次函數的性質，求出使△PAB面積最大時，點P的坐標，然后分兩種情況：①當P1(－，)時，②當P2(－，－)時，分別求出此時直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比，即可．

（1）令y=0，得：0=x2－mx－m－1，解得：x1=－1，x2=m＋1，

∴A(－1，0)，B(m＋1，0)．

當x=0時，y=－m－1，

∴C(0，－m－1)．

∵B(m＋1，0)在y軸的右側，

∴m＋1＞0，

由“△ABC的面積為6”得：S=（m＋1）（m＋2）=6，

解得：m1=－5（舍去），m2=2，

∴y=x2－2x－3．

（2）設P(a，b)，

∵A(－1，0)，B(3，0)，PB=3PA，

∴PB2=9PA2，即（3－a）2＋b2=9[（－1－a）2＋b2]，

化簡得：b2=－a2－3a．

要使△PAB面積最大，底AB=4為定值，因此只要使AB邊上的高最大，即b2取得最大值．

∵b2=－（a＋）2＋，

∴當a=－時，b2取得最大值為，即取得最大值為，

∴P1(－，)，P2(－，－)．

①當P1(－，)時，直線P1O的解析式為：y=－x，

∵B(3，0)，C(0，-3)，

∴直線BC的解析式為：y=x－3．

聯立y=－x與y=x－3，得-x=x-3，解得：x=，

∴P1O與BC的交點Q1(，－)，

∴△OBQ1的面積=×3×=，四邊形ACQ1O的面積=6-=，

∴此時直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比為∶，即5∶3．

②當P2(－，－)時，與①同理可得直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比為1∶15．