Question

【題目】已知，如圖，EB是的直徑，且，在BE的延長線上取點P，使，A是EP上一點，過A作的切線，切點為D，過D作于F，過B作AD的垂線BH，交AD的延長線于當點A在EP上運動，不與E重合時：

是否總有，試證明你的結論；

設，，求y和x的函數關系，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)有，理由見解析；(2)

【解析】

(1) 連接BD，先證△DFB≌△DHB，由此可得△BFH是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一的性質可證得BD⊥FH，而BD⊥DE，則FH∥DE，由此得證．

(2) 由于BH=BF，可用y表示出EF的值，進而在Rt△DEB中，根據射影定理得到y、x的函數關系式；當A、P重合時，連接OD，則OD⊥PH，根據平行線分線段成比例，可求得BH的長，進而可得到BF、EF的值，然后由射影定理即可求得DE的長，求得x的取值范圍．

解：(1)無論點A在EP上怎么移動點A不與點E重合，

總有，證明如下：

連接DB，交FH于G，如下圖所示：

是的切線，．

又，BE為直徑，

．有．

在和中，

，，

，，

∴≌．

∴

∴是等腰三角形．

∴，即．

，

．

故答案為：總有成立.

(2)，，，，

，

又是斜邊上的高，

∽，

，

即．即，

，

當A從E向左移動，ED逐漸增大，當A和P重合時，ED最大，

這時，連接OD，如下圖所示：

則，

．

又，，

，即：，

，．

由，

得：，

，，

，

故答案為：所求函數關系式為