Question

【題目】已知四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F．

當∠MBN繞B點旋轉到AE＝CF時（如圖1），易證AE+CF＝EF；

當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】圖2成立；圖三不成立，新結論為：EF=AE-CF．

【解析】

根據已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF，從而得出對應角相等，對應邊相等，從而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質及邊與邊之間的關系，即可推出AE+CF=EF．同理圖2可證明是成立的，圖3不成立．

解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS）；

∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE=∠CBF=30°，

∴AE=BE，CF=BF；

∵∠MBN=60°，BE=BF，

∴△BEF為等邊三角形；

∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；

圖2成立，圖3不成立．

證明圖2．

延長DC至點K，使CK=AE，連接BK，

在△BAE和△BCK中，

，

則△BAE≌△BCK，

∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，

∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，

∴∠FBC+∠ABE=60°，

∴∠FBC+∠KBC=60°，

∴∠KBF=∠FBE=60°，

在△KBF和△EBF中，

,

∴△KBF≌△EBF，

∴KF=EF，

∴KC+CF=EF，

即AE+CF=EF．

圖3不成立，新結論為EF=AE-CF．

理由：如圖3，將RT△ABE順時針旋轉120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，

∴A點與C點重合，∠ABE=∠CBG，

∴BG=BE，FG=CG-CF=AE-CF，

∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，

∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，

∵∠MBN=60°，

∴∠GBF=60°，

在△BFG和△BFE中，

，

∴△BFG≌△BFE，（SAS）

∴GF=EF，

∴EF=AE-CF．