Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F，切點為G，連接AG交CD于K．

（1）如圖1，求證：KE=GE；

（2）如圖2，連接CABG，若∠FGB=∠ACH，求證：CA∥FE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG交AB于點N，若sinE=，AK=，求CN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CN=．

【解析】試題分析：

（1）連接OG，則由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，從而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，這樣即可得到KE=GE；

（2）設∠FGB=α，由AB是直徑可得∠AGB=90°，從而可得∠KGE=90°-α，結合GE=KE可得∠EKG=90°-α，這樣在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=∠ACH可得∠ACH=2α，這樣可得∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF；

（3）如下圖2，作NP⊥AC于P，

由（2）可知∠ACH=∠E，由此可得sinE=sin∠ACH=，設AH=3a，可得AC=5a，CH=4a，則tan∠CAH=，由（2）中結論易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC，從而可得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tan∠AKH=，AK=a，結合AK=可得a=1，則AC=5；在四邊形BGKH中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，結合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH，

在Rt△APN中，由tan∠CAH=，可設PN=12b，AP=9b，由tan∠ACG=tan∠AKH=3可得CP=4b，由此可得AC=AP+CP==5，則可得b=，由此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的長.

試題解析：

（1）如圖1，連接OG．

∵EF切⊙O于G，

∴OG⊥EF，

∴∠AGO+∠AGE=90°，

∵CD⊥AB于H，

∴∠AHD=90°，

∴∠OAG=∠AKH=90°，

∵OA=OG，

∴∠AGO=∠OAG，

∴∠AGE=∠AKH，

∵∠EKG=∠AKH，

∴∠EKG=∠AGE，

∴KE=GE．

（2）設∠FGB=α，

∵AB是直徑，

∴∠AGB=90°，

∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，

∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，

∵∠FGB=∠ACH，

∴∠ACH=2α，

∴∠ACH=∠E，

∴CA∥FE．

（3）作NP⊥AC于P．

∵∠ACH=∠E，

∴sin∠E=sin∠ACH=，設AH=3a，AC=5a，

則CH=，tan∠CAH=，

∵CA∥FE，

∴∠CAK=∠AGE，

∵∠AGE=∠AKH，

∴∠CAK=∠AKH，

∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK= ，

∵AK=，

∴，

∴a=1．AC=5，

∵∠BHD=∠AGB=90°，

∴∠BHD+∠AGB=180°，

在四邊形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，

∴∠ABG+∠HKG=180°，

∵∠AKH+∠HKG=180°，

∴∠AKH=∠ABG，

∵∠ACN=∠ABG，

∴∠AKH=∠ACN，

∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，

∵NP⊥AC于P，

∴∠APN=∠CPN=90°，

在Rt△APN中，tan∠CAH=，設PN=12b，則AP=9b，

在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，

∴CP=4b，

∴AC=AP+CP=13b，

∵AC=5，

∴13b=5，

∴b=，

∴CN== =．