Question

已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．

（1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；
（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；
（3）如圖2，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．

Answer 1

（1）延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可。
（2）作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線。
（3）作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME

分析：（1）如圖1，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可。
（2）如圖2，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線。
（3）如圖3，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME。
解：（1）證明：
如圖1，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD。
∴點B為線段AD的中點。
又∵點M為線段AF的中點，
∴BM為△ADF的中位線。
∴BM∥CF。
（2）如圖2，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，
∴點B為AD中點，又點M為AF中點。
∴BM=DF。
分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a。
∴點E為FG中點，又點M為AF中點。
∴ME=AG。
∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a。
∴BM=ME=。
（3）證明：如圖3，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD。
∴點B為AD中點。
又點M為AF中點，∴BM=DF。
延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG。
∴點E為FG中點。
又點M為AF中點，∴ME=AG。
在△ACG與△DCF中，∵，
∴△ACG≌△DCF（SAS）。
∴DF=AG，∴BM=ME。