Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，直線與軸、軸分別交于點、，與相交于點，線段、的長是一元二次方程的兩根，，點的橫坐標為3，反比例函數的圖象經過點．

（1）若直線與反比例函數圖象上除點外的另一交點為，求的面積；若點在軸上，若點在軸上，求的最小值．．

（2）若點在坐標軸上，在平面內是否存在一點，使以點、、、為頂點的四邊形是矩形且線段為矩形的一條邊？若存在，直接寫出符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）72；20

（2）答案見解析

【解析】

（1）先解一元二次方程，得出OA，OC，即可得出點A和點C坐標，進而求出OB得出B點坐標，求出直線AB解析式，即可求出點E坐標，再求出點P坐標，再用面積差求出的面積.

作點P關于x軸的對稱點，點E關于y軸的對稱點，就是的最小值，求出即可.

（2）先確定直線CE解析式，、、、為頂點的四邊形是矩形作為已知條件，作滿足條件的輔助線，根據兩條直線垂直，它們的k值相乘等于-1，兩條直線平行k值相等且經過已知點，可求出直線解析式，再利用兩條直線相交，y值相等，列出關于x的等式，求出交點坐標，即為所求.

（1）∵線段、的長是一元二次方程的兩根

∴OC=6，OA=12，

∴=16

∴B(0，16)

設直線AB的解析式為

∴

∴直線AB的解析式為

∵點的橫坐標為3，且在直線AB上

得E(3，12)

又∵點E在反比例函數

∴k=36

設點P橫坐標為m縱坐標就為

∵點P在反比例函數上

∴

∴（舍）或

∴P(9，4)

如圖作點P關于x軸的對稱點，點E關于y軸的對稱點

∵P(9，4)，E(3，12)

∴ (9，-4)，（-3，12）

連接交x軸于R，交y軸于S，此時最小

最小值=

(2)由（1）知

∴直線CE的解析式為

∵、、、為頂點的四邊形是矩形且線段為矩形的一條邊

過點E作垂直于CE交x軸于交y軸于M

已知（-3，12）

∴直線的解析式為

過點M作∥CE，過點C作

∴直線MN的解析式為

∵C(-6，0)

∴直線CN的解析式為

N點是直線MN和CN的交點設N（m，n）

m=-9，n=

N(-9， )

過點作交直線CN于

∴直線的解析式為聯合直線CN的解析式為

得

過作交于

∵直線CN的解析式為，

∴直線的解析式為

聯合直線的解析式為

∴

∴所以滿足條件的N點的坐標為(-9， )，或