Question

【題目】如圖三角形ABC，BC＝12，AD是BC邊上的高AD＝10．P，N分別是AB，AC邊上的點，Q，M是BC上的點，連接PQMN，PN交AD于E．求

（1）若四邊形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的長；

（2）若四邊形PQMN是矩形，求當矩形PQMN面積最大時，求最大面積和PQ、PN的長．

Answer 1

【答案】（1）PQ＝，PN＝；（2）PQ＝5，PN＝6．

【解析】

（1）設PQ＝y，則PN＝2y，根據相似三角形的對應邊上的高的比＝相似比，構建方程即可解決問題；

（2）設AE＝x．利用相似三角形的性質，用x表示PN，PQ，構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可．

解：（1）設PQ＝y，則PN＝2y，

∵四邊形PQMN是矩形，

∴PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∵AD⊥BC，

∴AD⊥PN，

∴＝，即＝，

解得y＝，

∴PQ＝，PN＝．

（2）設AE＝x．

∵四邊形PQMN是矩形，

∴PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∵AD⊥BC，

∴AD⊥PN，

∴＝，

∴PN＝x，PQ＝DE＝10﹣x，

∴S矩形PQMN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+30，

∴當x＝5時，S的最大值為30，

∴當AE＝5時，矩形PQMN的面積最大，最大面積是30，

此時PQ＝5，PN＝6．