Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交坐標軸于A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．

（1）寫出這個二次函數的解析式；

（2）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；不存在，請說明理由；

（3）過點P作x軸的垂線，交直線BC于點E，動點P運動到什么位置時，線段PE的值最大，求出此時P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，(，﹣2)；（3）當m=2時，PE的值最大，此時P點坐標為(2，-6)

【解析】

（1）把已知的點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法直接求解．

（2）利用△POC是以OC為底邊的等腰三角形，所以，所以P在OC的垂直平分線上，點P在直線BC下方拋物線上，所以P是垂直平分線與拋物線的交點，通過解方程得到答案．

（3）過點P作x軸的垂線，交BC于E，設出P的坐標，可知E的橫坐標與P的橫坐標相同，利用直線BC的解析式表示E的縱坐標，由PE＝建立函數關系式，利用二次函數的性質求最大值即可．

解：（1）設拋物線為：

把A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)代入得：

解得：

所以拋物線解析式為

（2）作OC的垂直平分線DP，

交OC于點D，交BC下方

拋物線于點P，如圖1，

∴PO=PD，

此時P點即為滿足條件的點，

∵C（0，-4），

∴D（0，﹣2），

∴P點縱坐標為﹣2，

代入拋物線解析式可得，

解得（小于0，舍去），

∴存在滿足條件的P點，

其坐標為（，﹣2）

（3）∵點P在拋物線上，

可設P（m，m2-3m-4）

由B（4，0），C（0，-4）

所以直線B C的解析式為：y=x-4

∴點E坐標為（m，m-4）

∴PE= (m-4)-( m2-3m-4)

=-m2+4m

=-(m-2)2+4

∵-1<0

∴當m=2時，PE的值最大，

此時P點坐標為（2，-6）