Question

【題目】如圖1，已知菱形的邊長為12，， 點、分別是邊、上的動點(不與端點重合)，且．

（1）求證: 是等邊三角形；

（2）點、在運動過程中，四邊形的面積是否變化，如果變化，請說明理由；如果不變，請求出面積；

（3）如圖2，連接分別與邊、交于、，當時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不變，；（3）見解析．

【解析】

（1）證明△ACE≌△ADF，證出AE=AF，結合，便證出△AEF是等邊三角形；

（2）根據△ACE≌△ADF，則四邊形的面積等于△ABC或者△ACD的面積．

（3）將△ADN繞點A順時針旋轉120°得到△ABP，連接PM．結合旋轉的性質證明△MAN≌△MAP，根據四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，推出∠BPM=90°，即可證明結論.

（1）在菱形ABCD中，∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，∠D=∠B=60°，

∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，

∴AC=AD，

∵，

∴∠CAE=∠DAF，

又∵∠D=∠ACE=60°，

∴△ACE≌△ADF，

∴AE=AF，

∴△AEF是等邊三角形；

（2）點、在運動過程中，四邊形的面積不變.

理由：

∵△ACE≌△ADF，

∴,即

；

（3）將△ADN繞點A順時針旋轉120°得到△ABP，連接PM．

∵∠DAF=15°，∠EAF=60°，∠BAD=120°，

∴∠BAE=45°，∠BAP=∠DAF=15°，

∴∠MAN=∠MAP=60°，

∵AM=AM，AN=AP，

∴△MAN≌△MAP（SAS），

∴MN=PM，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ADN=∠ADC=30°，

∴∠AND=180°-15°-30°=135°，∠ANM=45°，

∴∠APB=∠AND=135°，∠APM=∠ANM=45°，

∴∠BPM=90°，

∴BP2+PM2=BM2，

∵BP=DN，PM=MN，

∴DN2+MN2=BM2．