Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上；線段OB，OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE．當△CEF的面積最大時，求點E的坐標，并求此時面積的最大值；
（3）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點Q，點D的坐標為（-3，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODQ是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的對稱軸可以用頂點式二次函數通式y=a（x-h）²+b來設拋物線的解析式．然后根據方程x²-10x+16=0，求出B、C兩點的坐標，進而可根據B、C的坐標求出拋物線的解析式．
（2）本題可通過設E點的坐標，然后列出關于△CEF的面積和E點橫坐標的二次函數式，然后根據函數的性質來確定面積的最大值以及對應的E點的坐標．
（3）本題的關鍵是求出Q點的縱坐標，可分三種情況進行討論．
①當DO=DQ時，根據A、D、O的坐標可知AD=OD，那么此時AD=OD=DQ，三角形AQO為直角三角形且與△AOC相似．可根據相似比求出面積比，進而求出三角形AOQ的面積．過Q作AO邊上的高QM，即可根據三角形AOQ的面積求出QM的長即Q點的縱坐標．然后代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．
②當DQ=OQ時，可根據三角形AQM與三角形ACO相似求出QM的長即Q點的縱坐標，然后按①的方法即可得出P點的坐標．
③當OQ=OD時，OQ=OD=3，顯然這種情況是不成立的（O到AC的距離為4.8）．
綜合三種情況即可求出符合條件的P點的坐標．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8．
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）．
又∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=-2，
∴可設拋物線的表達式為y=a（x+2）²+k．
∵點B（2，0），C（0，8）在拋物線上，
解得a=-

2

3

，k=

32

3

，
∴所求拋物線的表達式為y=-

2

3

(x+2)2+

32

3

=-

2

3

x2-

8

3

x+8．

（2）設點E的坐標為（m，0），過點F作FG⊥x軸（AB），垂足為點G．
由（1）可得，點A的坐標為（-6，0）．
∴AB=8，EB=2-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

BE

BA

=

FG

CO

，
即

2-m

8

=

FG

8

，
∴FG=2-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

(2-m)×8-

1

2

(2-m)×(2-m)=-

1

2

(m2+4m-12)=-

1

2

(m+2)2+8．
自變量m的取值范圍是-6＜m＜2，
∴當m=-2時，S有最大值，S最大值=8．
∴點E的坐標為（-2，0）．

（3）存在．在△ODQ中，
（Ⅰ）若DO=DQ，
∵A（-6，0），D（-3，0），
∴AD=OD=DQ=3．
∴△AQO是直角三角形．
∴Rt△AOQ∽Rt△ACO，
∴

S△AOQ

S△SCO

=(

AO

AC

)2，
由（1）可知AC=10，S_△ACO=24，
又∵AO=6，
∴S_△AOQ=

216

25

，
作QM⊥x軸（OA），垂足為點M．
則S_△AOQ=

1

2

×6×QM=

216

25

，
∴QM=

72

25

，
即點Q的縱坐標為

72

25

，
由-

2

3

(x+2)2+

32

3

=

72

25

，
解得x1=-2-

8 3

5

，x2=-2+

8 3

5

，
此時，點P的坐標為：P₁（-2-

8 3

5

，

72

25

）或P₂（-2+

8 3

5

，

72

25

）．
（Ⅱ）若QO=QD，
則QM是等腰△OQD底邊上的中線．
∴OM=

1

2

OD=

3

2

，
∴AM=

9

2

，
由于Rt△AMQ∽Rt△AOC，
∴

AM

AO

=

QM

CO

，
即

9 2

6

=

QM

8

，解得QM=6即點Q的縱坐標為6．
由-

2

3

(x+2)2+8=6，
解得x3=-2-

3

，x₄=-2+

3

，
此時點P的坐標為：P₃（-2-

3

，6）或P₄（-2+

3

，6）．
（Ⅲ）若OD=OQ，則OQ=3，
∵點O到AC的距離是

6×8

10

=4.8，而OQ=3＜4.8，此時不存在這樣的直線l，使△ODQ是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODQ是等腰三角形．點P的坐標為：P₁（-2-

8 3

5

，

72

25

）或P₂（-2+

8 3

5

，

72

25

）或P₃（-2-

3

，6）或P₄（-2+

3

，6）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似、探究等腰三角形的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．