Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．

（1）若∠ABC=70°，則∠NMA的度數是　 　度．

（2）若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．

①求BC的長度；

②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）50；（2）①6；②14

【解析】

試題（1）根據等腰三角形的性質和線段垂直平分線的性質即可得到結論；

（2）①根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質可得AM=BM，然后求出△MBC的周長=AC+BC，再代入數據進行計算即可得解；

②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，于是得到結論．

試題解析：解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°．∵AB的垂直平分線交AB于點N，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°．故答案為：50；

（2）①∵MN是AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△MBC的周長=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC．∵AB=8，△MBC的周長是14，∴BC=14﹣8=6；

②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，理由：∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P與M重合時，PA+PC=AC，此時PB+PC最小，∴△PBC周長的最小值=AC+BC=8+6=14．