Question

【題目】已知△ABC中，∠BAC=100°．

（1）若∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，如圖1所示，試求∠BOC的大小；

（2）若∠ABC和∠ACB的三等分線（即將一個角平均分成三等分的射線）相交于O，O1，如圖2所示，試求∠BOC的大小；

（3）如此類推，若∠ABC和∠ACB的n等分線自下而上依次相交于O，O1，O2…，如圖3所示，試探求∠BOC的大小與n的關系，并判斷當∠BOC=170°時，是幾等分線的交線所成的角．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）∠BOC=180°-，八等分線.

【解析】

根據三角形內角和定理先求得∠ABC+∠ACB的度數，

（1）根據角平分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數，從而利用三角形內角和定理求∠BOC的度數；

（2）根據三等分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數，從而利用三角形內角和定理求∠BOC的度數；

（3）根據n等分線的定義可表示出∠OBC+∠OCB的度數，從而利用三角形內角和定理表示出∠BOC的度數，然后將∠BOC=170°代入求出n的值即可.

解：∵∠BAC=100°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，

（1）∵點O是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，

∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=40°，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-40°=140°；

（2）∵點O是∠ABC和∠ACB的三等分線的交點，

∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-=；

（3）∵點O是∠ABC和∠ACB的n等分線的交點，

∴∠OBC+∠OCB=∠ABC +∠ACB =（∠ABC+∠ACB）=，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-，

當∠BOC=170°時，即170°=180°-，

解得：n=8，即是八等分線的交線所成的角.