Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．

（1）直接寫出∠ABC的度數；

（2）如圖（2），BD是△ABC中∠ABC的平分線．

①找出圖中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并選其中一個寫出推理過程；

②在直線BC上是否存在點P，使△CDP是以CD為一腰的等腰三角形？如果存在，請在圖（3）中畫出滿足條件的所有的點P，并直接寫出相應的∠CPD的度數；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）72°；（2）①△ADB、△BCD是等腰三角形，理由詳見解析；②存在3個點P，使得△CDP是等腰三角形，∠CPD的度數詳見解析．

【解析】

（1）由已知條件結合等腰三角形的性質及三角形內角和進行求解；
（2）①等腰三角形的判定，BD是△ABC中∠ABC的平分線．可求出各個角的大小再進行判斷；
②使△CDP為等腰三角形，則可能是CD=CP，DP=CD，因為∠C=∠BDC，所以不可能PC=PD．

解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC= （180°∠A）==72°；

（2）①如圖（2），△ADB、△BCD是等腰三角形．

說明△ADB是等腰三角形，理由：由（1）得：∠ABC=72°，

又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠ABC=36°，

又∵∠A=36°，∴∠A=∠ABD，

∴AD=BD，即△ADB是等腰三角形；

說明△BCD是等腰三角形，理由：

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=（180°-36°）=72°

又∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠DBC=∠ABC=36°，

∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，

∴∠C=∠BDC，

∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形；

②存在3個點P，使得△CDP是等腰三角形．如圖：

當以∠CDP為頂角，CD為一腰時，∠CPD=72°；

當以∠DCP為頂角，CD為一腰時，存在兩點P：

一點在線段BC延長線上，此時∠CPD=36°；

一點在線段BC上，此時∠CPD=54°．

故答案為：（1）72°；（2）①△ADB、△BCD是等腰三角形，理由詳見解析；②存在3個點P，使得△CDP是等腰三角形，∠CPD的度數詳見解析．