Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ=x，QR=y．

（1）求點D到BC的距離DH的長；

（2）求y關于x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）y=-x+6（3）存在，或6或

【解析】

試題分析：（1）根據三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根據相似三角形的性質求出DH的長；

（2）根據△RQC∽△ABC，根據三角形的相似比求出y關于x的函數關系式；

（3）畫出圖形，根據圖形進行討論：

①當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC=，∴，即可求出x的值；

②當PQ=RQ時，﹣x+6=，x=6；

③當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點，故CR=CE=AC=2．由于tanC=，x=．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，

∵∠A=90°，AB=6，AC=8，

∴BC==10．

∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．

∴△BHD∽△BAC，

∴，

∴DH=AC=×8=

（2）∵QR∥AB，

∴∠QRC=∠A=90°．

∵∠C=∠C，

∴△RQC∽△ABC，

∴，∴，

即y關于x的函數關系式為：y=-x+6．

（3）存在，分三種情況：

①當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．

∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，

∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC=，

∴，

∴，

∴x=．

②當PQ=RQ時，﹣x+6=，

∴x=6．

③作EM⊥BC，RN⊥EM，

∴EM∥PQ，

當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，

∴EN=MN，

∴ER=RC，

∴點R為EC的中點，

∴CR=CE=AC=2．

∵tanC=，

∴，

∴x=．

綜上所述，當x為或6或時，△PQR為等腰三角形．