Question

【題目】如圖，半徑為2的⊙O分別與x軸，y軸交于A，D兩點，⊙O上兩個動點B，C，使∠BAC＝60°恒成立，設△ABC的重心為G，則DG的最小值是_______．

Answer 1

【答案】﹣

【解析】

連接AG并延長，交BC于點F，由△ABC的重心為G，可知F為BC的中點，再由垂徑定理可知OF⊥BC，從而可求得OF的長；在AO上取點E，使AE＝AO，連接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性質列出比例式，求得GE的長，進而可得點E的坐標，利用勾股定理求出DE的長，根據G在以E為圓心，為半徑的圓上運動，可知DG的最小值為DE的長減去，計算即可．

解：連接AG并延長，交BC于點F，

∵△ABC的重心為G，

∴F為BC的中點，

∴OF⊥BC，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BOF＝60°，

∴∠OBF＝30°，

∴OF＝OB＝1，

∵△ABC的重心為G，

∴AG＝AF，

在AO上取點E，使AE＝AO，連接GE，

∵＝＝，∠FAO＝∠GAE，

∴△AGE∽△AFO，

∴＝，

∴GE＝．

∴G在以E為圓心，為半徑的圓上運動，

∴E（，0），

∴DE＝＝，

∴DG的最小值是﹣，

故答案為：﹣．