Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，連接OC，交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC．
（1）求證：點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)；（2）求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）連接OD．
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠COD，∠A=∠COB． （1分）
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO． （2分）
∴∠COD=∠COB．（3分）
∴弧BE=弧DE，即點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)． （4分）

（2）由（1）可知∠COD=∠COB，
在△COD和△COB中，

OD=OB ∠COD=∠COB OC=OC

，（5分）
∴△COD≌△COB，
∴∠CDO=∠CBO．（6分）
∵BC與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴BC⊥OB，即∠CBO=90°． （7分）
∴∠CDO=90°，即DC⊥OD．
∴CD是⊙O的切線． （8分）