Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE平分∠ABC交AD于點E，點O在AB上，以OB為半徑的⊙O經過點E，交AB于點F
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AC=4，∠C=30°，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

如圖，連接OE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE=∠EBD，

∴∠OEB=∠EBD，

∴OE∥BD，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠OEA=∠BDA=90°，

∴AD是⊙O的切線

（2）解：∵AB=AC=4，∠C=∠B=30°，

∴BD=2 ，

設圓的半徑為r，則BO=OE=r，AO=AC﹣OB=4﹣r，

∵OE∥BD，

∴ = ，即 = ，解得r=8 ﹣12，

∴ = =

【解析】（1）連接OE，利用角平分線的定義和圓的性質可得∠OBE=∠OEB=∠EBD，可證明OE∥BD，結合等腰三角形的性質可得AD⊥BD，可證得OE⊥AD，可證得AD為切線；（2）利用（1）的結論，結合條件可求得∠AOE=30°，由（1）可知OE∥BD，設半徑為r，則OB=OE=r，AO=4﹣r，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD，由平行線分線段成比例可得到關于r的方程，可求得圓的半徑，利用弧長公式可求得 ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)的相關知識才是答題的關鍵．