Question

【題目】如圖，已知中，，，，，動點從點出發，沿著的三條邊逆時針走一圈回到點，速度為2，設運動時間為秒.

（1） 時，為等腰三角形？

（2）另有一點從點開始，按順時針走一圈回到點，且速度為每秒3cm，若、兩點同時出發，當、中有一點到達終點時，另一點也停止運動.當為何值時，直線把的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）t=8或6.5；（2）t=2.4或7.2

【解析】

（1）分情況討論：①在邊AB上時，有兩種情況；②在邊AB上時，不能構成三角形；③在邊AC上時，不能構成三角形；
（2）分情況討論：根據點P在BC、AB、AC邊上討論，根據周長平分列方程可得結論．

（1）①i當點P在AB上，如圖，

CA=AP時，AP=8，
則t=16÷2=8s，
①ii當點P在AB上，如圖，

AP=CP時，過P作PD⊥AC于D，則AD=CD=AC=4

根據

∴

∴

∴在Rt△PAC中，AP==5

則t=13÷2=6.5s

故當t=8或6.5秒時，△ACP為等腰三角形；

（2）當P點在AC上，Q在AB上，PQ是相背運動，根據平分周長，則PQ運動的距離和是12，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴2t+3t=12，
∴t=2.4；
當P點在AB上，Q在AC上，相遇后是剛剛好合計走完一周，再次平分時又合計走了半周，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴2t+3t=36，
∴t=7.2，
∴當t=2.4或7.2秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．