Question

【題目】在平面直角坐標系中，O是坐標原點，A（2，2），B（4，﹣3），P是x軸上的一點．

（1）若PA+PB的值最小，求P點的坐標；

（2）若∠APO=∠BPO．

①求此時P點的坐標；

②在y軸上是否存在點Q，使得△QAB的面積等于△PAB的面積，若存在，求出Q點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P點坐標為（，0）；（2）①點P坐標為（﹣2，0）；②y軸上存在點Q使得△QAB的面積等于△PAB的面積，Q的坐標為（0，﹣5）或（0，19）.

【解析】

（1）根據題意畫坐標系描點，根據兩點之間線段最短，求直線AB解析式，與x軸交點即為所求點P．

（2）①作點A關于x軸的對稱點A'，根據軸對稱性質有∠APO=∠A'PO，所以此時P、A'、B在同一直線上．求直線A'B解析式，與x軸交點即為所求點P．

②法一，根據坐標系里三角形面積等于水平長（右左兩頂點的橫坐標差）與鉛垂高（上下兩頂點的縱坐標差）乘積的一半，求得△PAB的面積為12，進而求得△QAP的鉛垂高等于6，再得出直線BQ上的點E坐標為（2，8）或（2，﹣4），求出直線BQ，即能求出點Q坐標．法二，根據△QAB與△PAB同以AB為底時，高應相等，所以點Q在平行于直線AB、且與直線AB距離等于P到直線AB距離的直線上．這樣的直線有兩條，一條即過點P且與AB平行的直線，另一條在AB上方，根據平移距離相等即可求出．所求直線與y軸交點即點Q．

（1）∵兩點之間線段最短，∴當A、P、B在同一直線時，PA+PB=AB最短（如圖1）．

設直線AB的解析式為：y=kx+b．

∵A（2，2），B（4，﹣3），∴，解得：，∴直線AB：yx+7．

當x+7=0時，得：x，∴P點坐標為（，0）．

（2）①作點A（2，2）關于x軸的對稱點A'（2，﹣2）．

根據軸對稱性質有∠APO=∠A'PO．

∵∠APO=∠BPO，∴∠A'PO=∠BPO，∴P、A'、B在同一直線上（如圖2）．

設直線A'B的解析式為：y=k'x+b'．

，解得：，∴直線A'B：yx﹣1．

當x﹣1=0時，得：x=﹣2，∴點P坐標為（﹣2，0）．

②存在滿足條件的點Q．

法一：設直線AA'交x軸于點C，過B作BD⊥直線AA'于點D（如圖3），∴PC=4，BD=2，∴S△PAB=S△PAA'+S△BAA'．

設BQ與直線AA'（即直線x=2）的交點為E（如圖4）．

∵S△QAB=S△PAB，則S△QAB2AE=12，∴AE=6，∴E的坐標為（2，8）或（2，﹣4）．

設直線BQ解析式為：y=ax+q．則：

　或

解得：或，∴直線BQ：y或y，∴Q點坐標為（0，19）或（0，﹣5）．

法二：∵S△QAB=S△PAB，∴△QAB與△PAB以AB為底時，高相等，即點Q到直線AB的距離=點P到直線AB的距離．

i）若點Q在直線AB下方，則PQ∥AB．

設直線PQ：yx+c，把點P（﹣2，0）代入，解得：c=﹣5，yx﹣5，即Q（0，﹣5）；

ii）若點Q在直線AB上方．

∵直線yx﹣5向上平移12個單位得直線AB：yx+7，∴把直線AB：yx+7再向上平移12個單位得直線AB：yx+19，∴Q（0，19）．

綜上所述：y軸上存在點Q使得△QAB的面積等于△PAB的面積，Q的坐標為（0，﹣5）或（0，19）．