Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，弦AD⊥BC垂足為H，∠ABC＝2∠CAD.

（1）如圖1，求證：AB＝BC；

（2）如圖2，過點B作BM⊥CD垂足為M，BM交⊙O于E,連接AE、HM，求證：AE∥HM;

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BD交AE于N，AE與BC交于點F，若NH＝2，AD＝11，求線段AB的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AB的長為10.

【解析】分析：（1）根據題意，設∠CAD=a，然后根據直角三角形的兩銳角互余的關系，推導出∠BAC=∠ACB，再根據等角對等邊得證結論；

（2）延長AD、BM交于點N，連接ED.根據圓周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN，進而根據等角對等邊，得到DE=DN,BA=BN，再根據等腰三角形和直角三角形的性質，求得MH∥AE；

（3）連接CE，根據（2）的結論，由三角形全等的判定與性質證得HF=HC，然后結合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2，解得CD=5,CH=4,AH=8，最后根據銳角三角函數的性質得到AB.

詳解：（1）證明：設∠CAD=a,

則∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,

∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a

∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC

(2）證明：延長AD、BM交于點N，連接ED.

∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN

∴∠N=∠DEN=∠BAN

∴DE=DN,BA=BN

又∵BH⊥AN,DM⊥EN

∴EM=NM,HN=HA,∴MH∥AE

（3）連接CE.

∠BDA=∠BCA,∠BDM=∠BAC,由（1）知∠BCA=∠BAC

∴∠BDA=∠BDM,∴△BDM≌△BDH,

∴DH=MH,∠MBD=∠HBD,∴BD⊥MH

又∵MH∥AE,∴BD⊥EF,∴△FNB≌△ENB,

同理可證△AFH≌△ACH,∴HF=HC,又∵FN=NE

∴NH∥EC,EC=2NH,又∵NH=,∴EC=

∠EAC=2∠AEC=2a=∠ABC,可證弧AC=弧EC,

∴AC=EC=

設HD=x，AH=11-x，

∵∠ADC=2∠CAD,翻折△CHD至△CHG,可證CG=CD=AG

AH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x

又∵AC2-AH2=CD2-DH2,∴()2-(11-x)2=(11-2x)2-x2

∴x1=3,x2=(舍去)∴CD=5,CH=4,AH=8.

又∵,∴BH=6 ∴AB=