Question

【題目】解答題
（1）【問題提出】
如圖①，已知△ABC是等腰三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，將△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF連接EF
試證明：AB=DB+AF

（2）【類比探究】
如圖②，如果點E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數量關系？請說明理由

（3）如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖③的基礎上將圖形補充完整，并寫出AB，DB，AF之間的數量關系，不必說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：ED=EC=CF，

∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，

∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=EC，∠CEF=60°，

又∵ED=EC，

∴ED=EF，

∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠CAF=∠CBA=60°，

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，

∵∠CAF=∠CEF=60°，

∴A、E、C、F四點共圓，

∴∠AEF=∠ACF，

又∵ED=EC，

∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，

∴∠D=∠AEF，

在△EDB和△FEA中，

（AAS）

∴△EDB≌△FEA，

∴DB=AE，BE=AF，

∵AB=AE+BE，

∴AB=DB+AF

（2）

證明：AB=BD﹣AF；

延長EF、CA交于點G，

∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=EC，

又∵ED=EC，

∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，

∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，

∴∠FCG=∠FEA，

又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，

∴∠D=∠FEA，

由旋轉的性質，可得

∠CBE=∠CAF=120°，

∴∠DBE=∠FAE=60°，

在△EDB和△FEA中，

（AAS）

∴△EDB≌△FEA，

∴BD=AE，EB=AF，

∴BD=FA+AB，

即AB=BD﹣AF

（3）

證明：如圖③，

，

ED=EC=CF，

∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=EC，

又∵ED=EC，

∴ED=EF，

∵AB=AC，BC=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

又∵∠CBE=∠CAF，

∴∠CAF=60°，

∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC

=180°﹣60°﹣60°

=60°

∴∠DBE=∠EAF；

∵ED=EC，

∴∠ECD=∠EDC，

∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，

又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，

∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，

∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，

∴∠BDE=∠AEF，

在△EDB和△FEA中，

（AAS）

∴△EDB≌△FEA，

∴BD=AE，EB=AF，

∵BE=AB+AE，

∴AF=AB+BD，

即AB，DB，AF之間的數量關系是：

AF=AB+BD

【解析】（1）首先判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF．（2）首先判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠FCG=∠FEA，再根據∠FCG=∠EAD，∠D=∠EAD，可得∠D=∠FEA；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進而判斷出AB=BD﹣AF即可．（3）首先根據點E在線段BA的延長線上，在圖③的基礎上將圖形補充完整，然后判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判斷出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根據全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進而判斷出AF=AB+BD即可．
【考點精析】關于本題考查的等邊三角形的性質，需要了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能得出正確答案．